Epailija, 3.12.2008 22:17:
---
Juhgu, 3.12.2008 20:22:
Hämmennys successful. Eiks 1+2+3...+ääretön = ääretön?
---
Näinhän sitä voisi luulla. Joka tapauksessahan 1+2 on jo enemmän kuin 1/12, joten ei tuossa maalaisjärjellä ole mitään, noh, järkeä. Summa 1+2+3... voidaan kuitenkin esittää toisessakin muodossa (Riemannin zeta-funktio arvolla -1, kts. linkit) ja sitä kautta sille voidaan laskea arvo. Periaatteessahan tuollainen äärettömän monen termin summa ei taida olla hirveän hyvin määritelty siinä mielessä, että "ääretön" on vähän ongelmallinen käsite. En minä oikein muuta porsaanreikää keksi, mutta toisaalta enhän minä olekaan mikään matemaatikko.
Eikös tuo summa pitäisi olla -1/12?
Niin, ja eihän se tuon sarjan "oikea" summa tietenkään ole, vaan analyyttisen jatkamisen avulla saatu tulos, jota sitten voidaan jossain käyttää hyödyksi.
Ja eihän niissä äärettömissä sarjoissa mitään ongelmaa ole, jos ne suppenevat (ts. niiden summa on äärellinen). Esimerkkinä vaikka tuo Riemannin zeta-funktio arvolla 2, eli
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... = Pi^2 / 6. Muutaman ensimmäisen termin kun laskee, näkee että se lähestyy juuri tuota arvoa.
Summa 1+2+3+4+... taas hajaantuu, joten sen "laskemiseen" pitää käyttää jotain kikkoja, joita en edes teeskentele ymmärtäväni kunnolla.
Toinen hassu asia joka noista äärettömistä summista seuraa, on se, että alueen, jonka ympärysmitta on äärettömän pitkä, pinta-ala voi olla silti äärellinen.
Niin ja mieleen tuli vielä Banachin-Tarskin paradoksi, jonka mukaan yksi pallo voidaan hajottaa ja koota takaisin kahdeksi alkuperäistä vastaavaksi palloksi.
http://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox